◉自分を愛するパーフェクトな数！？「完全数」の秘密

みなさん、こんにちは！

毎日個別塾5-Days本厚木校の佐藤です。

今日からスタートする「不思議な数の世界シリーズ」へようこそ。このシリーズでは、学校の算数ではあまり詳しく学ばないけれど、数学者たちを何千年も夢中にさせてきた不思議な数を紹介していきます。

記念すべき第1回のテーマは「完全数（かんぜんすう）」です。

一見するとただの数字ですが、その中には驚くほど美しいルールが隠されています。

さっそく不思議な数の世界をのぞいてみましょう。

 

①　約数ってなんだっけ？

完全数を理解するためには、まず「約数」を思い出す必要があります。

約数とは、「ある数を余りなく割り切ることができる数」のことです。

たとえば12の約数を考えてみましょう。

12は、

1で割れる
2で割れる
3で割れる
4で割れる
6で割れる
12で割れる

ので、約数は

1、2、3、4、6、12

の6個です。

この約数が、完全数の秘密を解く重要なカギになります。

 

②　完全数の正体とは？

まずは数字の「6」に注目してみましょう。

6の約数は

1、2、3、6

です。

ここで、自分自身である「6」を除いて足してみます。

1＋2＋3＝6

なんと、元の数とぴったり同じになりました。

このように、

「自分自身を除いた約数をすべて足すと元の数になる数」

を完全数と呼びます。

まるで自分を構成するパーツを集めたら、再び自分自身が完成するような数です。

その美しさから、英語では「Perfect Number（パーフェクト・ナンバー）」と呼ばれています。

 

③　他の数字でも試してみよう

では、どんな数字でも同じことが起きるのでしょうか。

12の場合

12の約数は

1、2、3、4、6、12

です。

12を除いて足すと、

1＋2＋3＋4＋6＝16

となります。

元の数より大きくなってしまいました。

このような数は「過剰数（かじょうすう）」と呼ばれます。

8の場合

8の約数は

1、2、4、8

です。

8を除いて足すと、

1＋2＋4＝7

となります。

今度は元の数に届きません。

このような数を「不足数（ふそくすう）」と呼びます。

実は世の中のほとんどの数は過剰数か不足数です。その中で、ぴったり一致する完全数はとても珍しい存在なのです。

 

　まずはご相談ください！　

④　2番目の完全数「28」

6の次に現れる完全数は何でしょうか。

答えは「28」です。

28の約数は、

1、2、4、7、14、28

です。

自分自身を除いて足してみると、

1＋2＋4＋7＋14＝28

となり、また元の数とぴったり一致します。

6に続いて28も完全数だったのです。

このような数字を発見した昔の数学者たちは、その不思議さに大変驚いたそうです。

古代ギリシャの数学者も夢中になった

完全数は今から2000年以上前の古代ギリシャですでに研究されていました。

当時の人々は、完全数の持つ美しい性質に強く魅了されました。

特に最初の完全数である「6」と、2番目の完全数である「28」は特別視されていました。

6は古くから「完全な数」と考えられ、28も月の満ち欠けの周期と関係があることから神秘的な数字として扱われました。

もちろん現在では数学的な研究対象ですが、昔の人々が神秘的な力を感じた気持ちも少し分かる気がしますね。

 

⑤　3番目と4番目の完全数

完全数はどんどん見つかるわけではありません。

次の完全数は急に大きくなります。

1番目：6
2番目：28
3番目：496
4番目：8128

なんと、1から10000までの数の中には、この4つしかありません。

そのため完全数は「数字の世界の超レアキャラ」ともいえる存在です。

496や8128になると約数を調べるだけでも大変ですが、実際に計算すると確かに完全数になっています。

 

⑥　完全数を作る魔法のレシピ

「こんな珍しい数字をどうやって見つけるの？」

と思いますよね。

実は古代ギリシャの数学者ユークリッドは、完全数を作るための特別なルールを発見していました。

まず、

2、4、8、16、32、64、128……

のように2倍ずつ増えていく数を考えます。

そこから1を引いた数が素数になったとき、完全数を作ることができるのです。

たとえば、

4－1＝3（素数）

なので、

3×2＝6

となり完全数ができます。

次に、

8－1＝7（素数）

なので、

7×4＝28

となります。

さらに、

32－1＝31（素数）

なので、

31×16＝496

となります。

同じように、

128－1＝127（素数）

なら、

127×64＝8128

です。

まるで工場から完全数が次々に生み出されるようですね。

この仕組みを利用して、現在では非常に大きな完全数も発見されています。

⑦　実はまだ解けていない大問題

完全数は長い歴史を持っていますが、実は今でも分かっていないことがあります。

【謎　その1】　完全数は無限にあるのか？

完全数はこれから先も無限に見つかるのでしょうか。

それともどこかで終わってしまうのでしょうか。

実は誰にも分かっていません。

現在はスーパーコンピュータを使って非常に大きな完全数が発見されていますが、「無限に存在する」と証明されたわけではないのです。

【謎　その2】　奇数の完全数は存在するのか？

これまでに発見された完全数は、

6、28、496、8128

のようにすべて偶数です。

では、3や5や7のような奇数の完全数は存在するのでしょうか。

数学者たちは何百年も調べ続けていますが、まだ見つかっていません。

だからといって「絶対に存在しない」とも証明されていないのです。

もしかすると、信じられないほど巨大な奇数の完全数がどこかに隠れているのかもしれません。

⑧　まとめ

今回は「完全数」について紹介しました。

完全数とは、自分自身を除いた約数をすべて足すと元の数になる不思議な数です。

・最初の完全数は6
・次の完全数は28
・その次は496、8128
・非常に珍しい数である
・古代ギリシャの時代から研究されている
・無限に存在するかどうかはまだ分かっていない
・奇数の完全数があるかどうかも未解決

普段何気なく見ている数字にも、実は驚くような秘密が隠されています。

次回の「不思議な数の世界」では、互いの約数が相手を作り出す不思議なペア、「友愛数（ゆうあいすう）」を紹介する予定です。

ぜひまた遊びに来てくださいね。

それでは、次回の「不思議な数の世界」でお会いしましょう！