◉大親友のようなペア！？「友愛数」のきずな

みなさん、こんにちは！

毎日個別塾5-Days本厚木校の佐藤です。

不定期でお届けしている「不思議な数の世界シリーズ」へようこそ。

前回は、自分自身をのぞいた約数をすべて足すと元の数になる、不思議な数字「完全数（かんぜんすう）」を紹介しました。6や28が持つ美しいルールに驚いた人もいたのではないでしょうか。

今回のテーマは「友愛数（ゆうあいすう）」です。

完全数が自分ひとりで完結する数字だったのに対し、友愛数は2つの数字が協力して成立する特別な関係を持っています。

まるで大親友のように、お互いを支え合う数字のペアなのです。

それでは、数字たちの友情物語をのぞいてみましょう。

 

①　約数のおさらい

友愛数を理解するために、まずは約数を思い出しましょう。

約数とは、ある数を余りなく割り切ることができる数のことです。

たとえば4の約数は、

1、2、4

です。

そして友愛数では、自分自身の数字を除いて考えます。

4の場合なら、

1と2

だけを使います。

この「自分自身を除いた約数」が、友愛数の世界で重要な役割を果たします。

 

②　友愛数とは何だろう？

友愛数とは、

「ある数の自分自身を除いた約数をすべて足すと相手の数になり、相手の数でも同じことをすると元の数に戻る」

という関係を持つ数字のペアです。

最も有名な友愛数は、

220と284

です。

実際に確かめてみましょう。

220の場合

220の約数は、

1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220

です。

220自身を除いて足してみると、

1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110

＝284

となります。

220のパーツを集めると、なんと284になるのです。

284の場合

次は284です。

284の約数は、

1、2、4、71、142、284

です。

284自身を除いて足すと、

1＋2＋4＋71＋142

＝220

になります。

今度は284のパーツを集めると220に戻りました。

220は284を作り、284は220を作る。

お互いが相手を生み出す、とても不思議な関係です。

これが友愛数です。

 

　まずはご相談ください！　

③　なぜ「友愛数」と呼ばれるの？

友愛数という名前は、古代ギリシャの数学者として有名な

『ピタゴラス』

に由来すると言われています。

ピタゴラスは「友人とはもう一人の自分である」という考え方を大切にしていました。

220と284は、自分の持つ約数を相手に渡すことで相手になり、相手もまた自分に戻してくれます。

その姿が、本当の友情に似ていると考えられたのです。

昔の人々は、この数字を友情のシンボルとして大切にしていたとも伝えられています。

数字の中に友情を見つけるなんて、とてもロマンがありますね。

 

④　数学史に残る16歳の大発見

長い間、人々が知っていた友愛数は220と284だけでした。

数学者たちは「他にも友愛数があるのではないか」と探し続けましたが、なかなか見つかりませんでした。

ところが1866年、大きな出来事が起こります。

当時16歳だったイタリアの少年

『ニコロ・パガニーニ』

が、新しい友愛数を発見したのです。

その数字は、

1184と1210

でした。

驚くべきことに、このペアは220と284の次に小さい友愛数でした。

多くの大人の数学者たちが見逃していた数字を、16歳の少年が発見したのです。

数学の世界では、年齢に関係なく新しい発見ができることを示した有名なエピソードとして語り継がれています。

 

⑤　1万までにある友愛数

友愛数はとても珍しい数字です。

実は1から10000までの間に存在する友愛数のペアは、たった5組しかありません。

その5組を紹介します。

220 と 284
1184 と 1210
2620 と 2924
5020 と 5564
6232 と 6368

10000個も数字が並んでいるのに、その中に5組しかないのです。

完全数と同じように、友愛数も数字の世界では超レアな存在だといえるでしょう。

 

⑥　もっと大きな友愛数の世界

もちろん、友愛数はこの5組だけではありません。

現在ではコンピュータの力を使い、何億組もの友愛数が発見されています。

さらに調べていくと、不思議なことも分かっています。

220と284のように最初に見つかった友愛数はどちらも偶数でした。

そのため昔の数学者たちは、「友愛数は偶数同士しか存在しないのではないか」と考えていました。

しかし後になって、

12285と14595

という奇数同士の友愛数が発見されました。

数字の世界には、まだまだ予想外の発見が隠れているのです。

 

⑦　まだ解けていない大きな謎

友愛数には、現代の数学者たちも答えを知らない問題があります。

それは、

「偶数と奇数の友愛数ペアは存在するのか？」

という謎です。

現在見つかっている友愛数は、

偶数と偶数
奇数と奇数

のどちらかです。

ところが、

偶数と奇数

という組み合わせは、一組も見つかっていません。

数学者たちは「存在しないかもしれない」と考えていますが、それを証明することもできていません。

もしかすると、数字の果てしない世界のどこかに、まだ誰も発見していない特別なペアが隠れているのかもしれません。

こうした未解決問題があるからこそ、数学は今でも研究が続いているのです。

 

⑧　今日のまとめ

今回は「友愛数」について紹介しました。

友愛数とは、お互いの自分自身を除いた約数を足すと相手になる特別な数字のペアです。

・最初の友愛数は220と284
・まるで大親友のような関係を持つ
・古代ギリシャの時代から知られていた
・2番目の友愛数は16歳の少年によって発見された
・1から10000までには5組しか存在しない
・偶数と奇数の友愛数が存在するかどうかは今も未解決

普段はただの数字に見えても、その裏側では不思議なルールによって結びついています。

数字たちにも友情があると思うと、算数が少し違って見えてきませんか？

次回の「不思議な数の世界」では、友愛数によく似ているけれど少しだけ関係が違う、不思議な数字のペア「婚約数（こんやくすう）」をご紹介します。

それでは、また次回お会いしましょう！